【什么是半序线性空间-图】百科知识点

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一类赋有序关系的线性空间，称为有序线性空间。如果只考察实值函数，则重要的空间如C(Ω)，Lp(Ω)(1≤p<∞),除了有线性结构、拓扑结构以外，还有个按照自然的序: ?≥0,若?(t)≥0对一切(几乎所有)t∈Ω都成立，构成的序结构。某些空间中的这种序或“正性”，在理论和应用上都是很重要的。

一族元素

对向量格E中的一族元素,若有x∈E，使得x≥xα对一切α∈A成立,又任何y≥yα对一切，则称x为之上确界，记作。同样,可定义下确界在一般的向量格中，上方有界的点列未必有上确界。如果对Χ之任何上方有界点列，必有上确界，则称Χ 为σ-完备的。前述之向量格V与RA都是σ-完备的。 　对E中的点列，若有单调递减的点列wn使得，而，则称xn序收敛于x0，记作。 　设Χ为实的巴拿赫空间。如果Χ还是一个向量格，而且，则称Χ为巴拿赫格。这是线性关系,格序关系以及范数的结合。 　利用格序关系与序收敛，对σ-完备的向量格 Χ可定义绝对连续元素与奇异元素,从而将拉东-尼科迪姆定理推广成:Χ的每个元都可唯一地表示成绝对连续元与奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元α,可唯一地确定一个单位分解{eλ;-∞<λ<∞}，使，从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的 σ- 完备向量格上。设Χ为巴拿赫格,如果还有x≥0,，则称Χ为抽象L1空间。可以证明有测度空间Ω使得这种Χ线性的，保范序同构于L(Ω),同样也可用格序关系与范数刻画Lp(Ω)与C(K),这里K是紧空间。

里斯空间

如果实线性空间E的某些元素偶(x，y)之间有关系x≥y，并存在①序关系;x≥x，又 x≥y 且 ，x≥y 且 ;②,x≥y,;则称E为半序线性空间。若进而还有③格关系:对x、y∈E恒有z∈E,使x≤z且y≤z，又x≤u，。就称E为向量格或里斯空间，且记③中之z为x∨y。

一般对具有性质①的集合，称为按关系≥是半序的，而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。

向量格实例 ①设CR(Ω)是紧豪斯多夫空间Ω上全体实值连续函数，其上的加法与数乘如通常定义。对 x、y∈C(Ω)定义,当t∈Ω。这时(x∨y)(t)=max{x(t)，y(t)},易见 CR(Ω)是向量格。②设(x,B)是可测空间。设V是全体在(x,B)上有限的,完全可加的集合函数。对μ1,μ2∈V 及实数α定义,E∈B;,E∈B,α是实的;,E∈B。这时， 　当E∈B。可以证明,V是向量格。③对希尔伯特空间H上有界线性算子A与B,如果对任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，则称B堻堻A。设 A是H上给定的有界自伴算子,令RA={H;BA},定义，当x∈H,则对有。这里而且C≥0，可以证明RA是向量格。

向量格的性质

在向量格中定义 ，x_=(-x)∨0,|x|=x∨(-x)依次称为x的正部分、负部分、绝对值。在向量格中,每个元x都有若尔当分解。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的推广。

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