【什么是辛流形-图】百科知识点

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简介

数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭、非退化2-形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密尔顿表述中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。

详细内容

一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场;该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅戈比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

具有某种特殊结构的微分流形，这种结构称为辛结构。设M为一微分流形,又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式σ,则称σ是M上的一个辛结构，又称M为具辛结构σ的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V是m维向量空间,在V上定义了一个反对称、非退化的双线性形式σ，即σ满足：①反对称性，σ(α,β)=-σ(β,α)，对任意α,β∈V成立;②非退化,若对任意β∈V，有σ(α,β)=0，必有α=0,则称σ为向量空间V上的一个辛结构,又称V 为具辛结构σ的辛向量空间。对于具辛结构σ的微分流形M,在每一点x∈M，将σ(x)视为TxM上的双线性形式，即得出向量空间TxM上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。

应用实例

设M是微分流形，T*M是它的余切丛,又在T*M上定义一个一次微分形式α,使当T*M的局部坐标取为(x1，x2,…,xn,ξ1,ξ2,…,ξn),α 的局部坐标表为，α的外微分dα就是T*M上一个二次非退化闭外形式,其局部坐标表示为dα可作为T*M的辛结构,称它为自然辛结构。T*M在这种辛结构下成为一个辛流形。这是一个最常见的辛流形。可以证明,若两个微分流形M，N之间有微分同胚τ:M→N，由τ诱导出的余切丛之间的映射τ*：T*M→T*N就是这两个辛流形之间保持自然辛结构的一个变换，称为典则变换。

辛结构和典则变换的概念起源于分析力学，近年来，关于辛流形及其各种子流形的性质的研究在其他数学分支中已有不少应用。例如,在近代偏微分方程理论中,往往在余切丛上对方程及其解进行分析，这时，典则变换常成为将问题化简的一种工具。辛流形的概念与方法还在物理问题的量子化中有许多应用。

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